三角全体系篇

🎯 考试定位：公式密集区，从任意角、弧度制到两角和差、二倍角，层层递进。大题小题均会涉及。
覆盖：任意角与弧度制 · 三角函数定义 · 两角和差 · 二倍角

一、任意角与弧度制

正角、负角、零角：逆时针为正，顺时针为负，不旋转为零
终边相同的角： $\beta = \alpha + k \cdot 360^\circ = \alpha + 2k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$

$\alpha$ 必须用弧度制。

设角 $\alpha$ 终边上一点 $P(x, y)$ ，到原点距离 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ：

\boxed{ \sin \alpha = \dfrac{y}{r},\qquad \cos \alpha = \dfrac{x}{r},\qquad \tan \alpha = \dfrac{y}{x} }

象限符号口诀："一全正，二正弦，三正切，四余弦"

一	二	三	四
全正	正弦正	正切正	余弦正

\boxed{ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 }

\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

注意符号： $\sin(\alpha \pm \beta)$ 符号一致， $\cos(\alpha \pm \beta)$ 符号相反！

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha

\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

余弦倍角三种形式灵活选用：已知 $\sin\alpha$ 用 $1-2\sin^2\alpha$ ，已知 $\cos\alpha$ 用 $2\cos^2\alpha-1$

考点	核心公式
三角函数定义	$\sin\alpha=\dfrac{y}{r},\ \cos\alpha=\dfrac{x}{r},\ \tan\alpha=\dfrac{y}{x}$
平方关系	$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
两角和正弦	$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
两角和余弦	$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ （符号相反）
二倍角	$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$