第七章：平面向量

平面向量兼具"几何"和"代数"双重属性，升学考试中，坐标运算是得分重灾区。

7.1 向量的基础概念

大坑

$\vec{0}$ 与任何向量平行！

设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ ， $\vec{b} = (x_2, y_2)$ ：

定义式（ $\theta$ 为两向量夹角， $\theta \in [0, \pi]$ ）：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert\cos\theta$
坐标式：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
求夹角余弦值：
$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

平行（共线）条件：
$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1y_2 - x_2y_1 = 0$
（交叉相乘相等）
垂直条件：
$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0$