几何全体系篇

🎯 考试定位：从向量到圆锥曲线，贯穿整个中职数学。向量考选择填空，解析几何考大题，圆锥曲线是压轴提分关键。
覆盖：平面向量 · 直线和圆 · 立体几何 · 圆锥曲线

一、平面向量

兼具"几何"和"代数"双重属性，坐标运算是得分重灾区。

1.1 基础概念

零向量 $\vec{0}$ ：模为 $0$ ，方向任意
单位向量：模为 $1$
共线向量：方向相同或相反

$\vec{0}$ 与任何向量平行！

1.2 坐标运算（设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$ ， $\vec{b}=(x_2,y_2)$ ）

运算	坐标法则
加法 $\vec{a}+\vec{b}$	$(x_1+x_2,\ y_1+y_2)$
减法 $\vec{a}-\vec{b}$	$(x_1-x_2,\ y_1-y_2)$
数乘 $\lambda\vec{a}$	$(\lambda x_1,\ \lambda y_1)$
模 $\lvert\vec{a}\rvert$	$\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

1.3 数量积（点乘）

定义式（ $\theta \in [0,\pi]$ ）： $\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert\cos\theta$
坐标式： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
夹角余弦： $\cos\theta = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

1.4 两大核心判定

\boxed{ \vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1y_2 - x_2y_1 = 0 } \quad \text{(平行/共线)}

\boxed{ \vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0 } \quad \text{(垂直)}

二、直线和圆的方程

2.1 直线

斜率（过 $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2)$ ）： $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan\alpha$
点斜式（最常用）： $y - y_0 = k(x - x_0)$
一般式： $Ax + By + C = 0$ ，斜率 $k = -\dfrac{A}{B}$

两条直线位置关系

平行： $l_1 \parallel l_2 \iff k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$
垂直： $l_1 \perp l_2 \iff k_1 \cdot k_2 = -1$

点到直线距离

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

2.2 圆的方程

标准方程（圆心 $(a,b)$ ，半径 $r$ ）：
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
一般方程： $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ （ $D^2+E^2-4F > 0$ ）
圆心 $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$ ，半径 $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$

直线与圆位置关系（几何法：比较 $d$ 与 $r$ ）

$d < r$ → 相交（两交点）
$d = r$ → 相切（一交点）
$d > r$ → 相离（无交点）

三、立体几何初步

3.1 线面关系

线面平行：线线平行 $\implies$ 线面平行
线面垂直：垂直于面内两条相交直线
面面垂直：一平面经过另一平面的垂线

3.2 体积与表面积

柱体： $V = S_{\text{底}} \cdot h$
锥体： $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$
球体： $S = 4\pi R^2$ ， $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

四、圆锥曲线

$a,b,c$ 关系速记

曲线	关系式	最大量	离心率
椭圆	$c^2 = a^2 - b^2$	$a$	$0<e<1$
双曲线	$c^2 = a^2 + b^2$	$c$	$e>1$
抛物线	—	—	$e=1$

4.1 椭圆

定义：到两焦点的距离之和 = 常数 $2a$ （ $2a > |F_1F_2|$ ）

\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

焦点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ ， $c^2 = a^2 - b^2$ ，离心率 $e = \dfrac{c}{a}$ （ $0<e<1$ ）

4.2 双曲线

定义：到两焦点的距离之差的绝对值 = 常数 $2a$

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

焦点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ ， $c^2 = a^2 + b^2$ ，离心率 $e = \dfrac{c}{a}$ （ $e>1$ ），渐近线 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$

4.3 抛物线

定义：到焦点与到准线距离相等的点的轨迹

y^2 = 2px \quad (p > 0)

焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ ，准线 $x = -\dfrac{p}{2}$

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考点	核心公式
向量平行	$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$
向量垂直	$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$
点线距离	$d = \dfrac{\vert Ax_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}$
圆标准方程	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
椭圆方程	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ， $c^2=a^2-b^2$
双曲线方程	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ， $c^2=a^2+b^2$
抛物线方程	$y^2 = 2px$

几何全体系篇 ​

一、平面向量 ​

1.1 基础概念 ​

1.2 坐标运算（设 ，） ​

1.3 数量积（点乘） ​

1.4 两大核心判定 ​

二、直线和圆的方程 ​

2.1 直线 ​

两条直线位置关系 ​

点到直线距离 ​

2.2 圆的方程 ​

直线与圆位置关系（几何法：比较 与 ） ​

三、立体几何初步 ​

3.1 线面关系 ​

3.2 体积与表面积 ​

四、圆锥曲线 ​

4.1 椭圆 ​

4.2 双曲线 ​

4.3 抛物线 ​

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