第二章：导数及其应用

导数是研究函数性质（特别是单调性和最值）的降维打击工具。

2.1 导数的概念与几何意义

几何意义：函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ ，就是该函数图像在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率 $k$ ：
$k = f'(x_0)$

2.2 基础求导公式

函数	导数
$C$ （常数）	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$

2.3 导数的四则运算法则

加减法：
$[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
乘法（前导后不导 + 后导前不导）：
$[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
除法：
$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]' = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

2.4 导数的终极应用（大题解题步骤）

1. 求单调区间

求导函数 $f'(x)$
解 $f'(x) > 0$ → 单调递增区间
解 $f'(x) < 0$ → 单调递减区间

2. 求极值与最值

令 $f'(x) = 0$ ，求出驻点
判断驻点左右两侧导数的符号：
- 左正右负 → 极大值
- 左负右正 → 极小值
若求闭区间最值，还需将极值与端点值进行比较：
- 最大的是最大值
- 最小的是最小值

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