数列全体系篇

🎯 考试定位：高考必考大题（10-12 分）或两道选择填空。核心：死磕"等差"与"等比"两大标准模型。
覆盖：数列基础 · 等差数列 · 等比数列 · 递推与求和技巧

一、数列核心关系链

通项公式 $a_n$ ：项与项数 $n$ 的关系
前 $n$ 项和： $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

万能钥匙：已知 $S_n$ 求 $a_n$

a_n = \begin{cases} S_1, & n=1 \\[6pt] S_n - S_{n-1}, & n \ge 2 \end{cases}

二、等差数列（加法模型）

2.1 基础公式

定义（ $d$ 为公差）： $a_{n+1} - a_n = d$
通项公式：

\boxed{ a_n = a_1 + (n-1)d }

前 $n$ 项和（两个公式，按已知条件选用）：

S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \quad \text{(已知首尾项)}

S_n = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d \quad \text{(已知首项和公差)}

2.2 重要性质与中项

下标性质： $m + n = p + q \implies a_m + a_n = a_p + a_q$
等差中项： $a, A, b$ 成等差 $\implies 2A = a + b$

三、等比数列（乘法模型）

3.1 基础公式

定义（ $q$ 为公比， $a_n, q \neq 0$ ）： $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q$
通项公式：

\boxed{ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} }

前 $n$ 项和：

S_n = \begin{cases} na_1, & q = 1 \\[8pt] \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q}, & q \neq 1 \end{cases}

3.2 重要性质与中项

下标性质： $m + n = p + q \implies a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$
等比中项： $a, G, b$ 成等比 $\implies G^2 = ab$

注意： $G = \pm\sqrt{ab}$ ，符号看题目要求。

四、递推与求和技巧（拓展）

4.1 递推公式求通项

累加法：适用于 $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 型
累乘法：适用于 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = f(n)$ 型

4.2 裂项相消法

\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}

4.3 错位相减法

适用于 $\{a_n \cdot b_n\}$ 型（等差 $\times$ 等比）数列求和。

⚡ 等差 vs 等比速查卡

对比项	🔵 等差数列	🔴 等比数列
定义	$a_{n+1} - a_n = d$	$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q$
通项	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$a_n = a_1 q^{n-1}$
求和	$S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$	$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
中项	$2A = a + b$	$G^2 = ab$
下标	$m+n=p+q \implies$ 项和相等	$m+n=p+q \implies$ 项积相等

数列全体系篇 ​

一、数列核心关系链 ​

二、等差数列（加法模型） ​

2.1 基础公式 ​

2.2 重要性质与中项 ​

三、等比数列（乘法模型） ​

3.1 基础公式 ​

3.2 重要性质与中项 ​

四、递推与求和技巧（拓展） ​

4.1 递推公式求通项 ​

4.2 裂项相消法 ​

4.3 错位相减法 ​

⚡ 等差 vs 等比 速查卡 ​

数列全体系篇

一、数列核心关系链

二、等差数列（加法模型）

2.1 基础公式

2.2 重要性质与中项

三、等比数列（乘法模型）

3.1 基础公式

3.2 重要性质与中项

四、递推与求和技巧（拓展）

4.1 递推公式求通项

4.2 裂项相消法

4.3 错位相减法

⚡ 等差 vs 等比速查卡