函数全体系篇

🎯 考试定位：中职数学的半壁江山，小题大题都会频繁出现。务必精通定义域、单调性、奇偶性、指对运算。
覆盖：函数基础 · 指数函数与对数函数 · 反函数与指对方程

一、函数基础

1.1 定义域（常考）

找使函数有意义的 $x$ 范围：

分式：分母 $\neq 0$
根式（偶次方根）：被开方数 $\ge 0$
对数式：真数 $> 0$ ，底数 $> 0$ 且 $\neq 1$

求函数值：代入法。如 $f(x)=2x+1$ ， $f(2)=5$

1.2 单调性（增减性）

增函数： $x \uparrow$ ， $y \uparrow$ → 图像从左往右上升
减函数： $x \uparrow$ ， $y \downarrow$ → 图像从左往右下降

1.3 奇偶性（必考）

前提：定义域关于原点对称

偶函数（ $y$ 轴对称，如 $y=x^2$ ）： $f(-x) = f(x)$
奇函数（原点对称，如 $y=x$ ）： $f(-x) = -f(x)$

1.4 二次函数最值

顶点坐标： $\left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)$ ，对称轴： $x = -\dfrac{b}{2a}$

\boxed{y = ax^2 + bx + c \ \text{顶点：}\ \left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)}

1.5 同角三角函数基本关系

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

二、指数函数与对数函数

重难点：公式多，运算容易错，必须死记。

2.1 指数幂运算定律

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ （同底相乘，指数加）
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ （同底相除，指数减）
$(a^m)^n = a^{mn}$ （幂的乘方，指数乘）
$(ab)^n = a^n b^n$ （积的乘方）
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ （负指数变倒数）
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ （分数指数变根式）

2.2 对数运算定理

定义互换：

a^b = N \iff \log_a N = b

核心运算法则：

\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N \quad \text{(乘→加)}

\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N \quad \text{(除→减)}

\log_a M^n = n \log_a M \quad \text{(指数前移)}

特殊值： $\log_a 1 = 0$ ， $\log_a a = 1$
特殊对数： $\lg N$ （底 $10$ ）， $\ln N$ （底 $e$ ）

2.3 指对函数图像与性质

底数范围	$a > 1$	$0 < a < 1$
指数函数 $y = a^x$	增函数，过 $(0,1)$	减函数，过 $(0,1)$
对数函数 $y = \log_a x$	增函数，过 $(1,0)$	减函数，过 $(1,0)$

三、反函数与指对方程

3.1 反函数

$y = f(x)$ 的反函数记作 $y = f^{-1}(x)$ ，互为反函数的图像关于 $y = x$ 对称

3.2 指对方程

指数方程：化为同底，令指数相等
对数方程：化为同底，令真数相等（必须验根：真数 $> 0$ ）

⚡ 速查卡

考点	核心公式
定义域三要素	分母 $\neq 0$ / 被开方数 $\ge 0$ / 真数 $> 0$
奇偶性	偶 $f(-x)=f(x)$ / 奇 $f(-x)=-f(x)$
二次函数顶点	$\left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$
对数互化	$a^b = N \iff \log_a N = b$
对数运算	$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$ ， $\log_a(\frac{M}{N})=\log_a M-\log_a N$

函数全体系篇 ​

一、函数基础 ​

1.1 定义域（常考） ​

1.2 单调性（增减性） ​

1.3 奇偶性（必考） ​

1.4 二次函数最值 ​

1.5 同角三角函数基本关系 ​

二、指数函数与对数函数 ​

2.1 指数幂运算定律 ​

2.2 对数运算定理 ​

2.3 指对函数图像与性质 ​

三、反函数与指对方程 ​

3.1 反函数 ​

3.2 指对方程 ​

⚡ 速查卡 ​