第六章：数列

数列是高考的必考大题（通常是一道 10-12 分的大题，或者两道选择填空）。核心就是死磕"等差"与"等比"两大标准模型。

6.1 数列的概念

通项公式 $a_n$ ：项与项数 $n$ 的函数关系
前 $n$ 项和 $S_n$ ：
$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

核心关系链

a_n = \begin{cases} S_1, & n=1 \\[6pt] S_n - S_{n-1}, & n \ge 2 \end{cases}

利用 $S_n$ 求 $a_n$ 的万能钥匙。

6.2 等差数列（加法模型）

定义（ $d$ 为公差）：
$a_{n+1} - a_n = d$
通项公式：
$a_n = a_1 + (n-1)d$
前 $n$ 项和公式：
1. 已知首尾项（最快）：
  $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$
2. 已知首项和公差：
  $S_n = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$
重要性质：
$m + n = p + q \implies a_m + a_n = a_p + a_q$
等差中项：若 $a, A, b$ 成等差数列，则：
$2A = a + b$

6.3 等比数列（乘法模型）

定义（ $q$ 为公比， $a_n, q \neq 0$ ）：
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q$
通项公式：
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
前 $n$ 项和公式：
- 当 $q = 1$ 时：
  $S_n = na_1$
- 当 $q \neq 1$ 时：
  $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q}$
重要性质：
$m + n = p + q \implies a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$
等比中项：若 $a, G, b$ 成等比数列，则：
$G^2 = ab$

注意

$G = \pm\sqrt{ab}$ ，符号看题目要求。

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