第五章：圆锥曲线

5.1 椭圆

定义：到两定点 $F_1, F_2$ 距离之和为常数 $2a$ （ $2a > |F_1F_2|$ ）
标准方程：
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$
焦点：
$F_1(-c, 0), \quad F_2(c, 0)$
其中：
$c^2 = a^2 - b^2$
离心率：
$e = \dfrac{c}{a} \quad (0 < e < 1)$

5.2 双曲线

定义：到两定点 $F_1, F_2$ 距离之差的绝对值为常数 $2a$ （ $0 < 2a < |F_1F_2|$ ）
标准方程：
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
焦点：
$F_1(-c, 0), \quad F_2(c, 0)$
其中：
$c^2 = a^2 + b^2$
离心率：
$e = \dfrac{c}{a} \quad (e > 1)$
渐近线：
$y = \pm \dfrac{b}{a}x$

5.3 抛物线

定义：到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹
标准方程（开口向右）：
$y^2 = 2px \quad (p > 0)$
焦点：
$F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$
准线：
$x = -\dfrac{p}{2}$

圆锥曲线 $a, b, c$ 关系对比

曲线	关系式	谁最大
椭圆	$c^2 = a^2 - b^2$	$a$ 最大
双曲线	$c^2 = a^2 + b^2$	$c$ 最大
抛物线	无 $b$ ， $p$ 为焦准距	—

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